向高中生介绍洛必达法则

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1.首先明白什么是不定式.

 

x\rightarrow x_{0} 时,f(x)g(x)的极限都是0,那么它们的商的极限是什么?商的极限是不确定的,比如
\lim_{x \rightarrow 0}{2x} =0,\lim_{x \rightarrow 0}{x^{2} } =0,\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x^{2} }{2x} } =0,
\lim_{x \rightarrow 0}{2x^{2}} =0,\lim_{x \rightarrow 0}{x^{2} } =0,\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{2x^{2}}{x^{2} } } =2,
\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{sin x}{x} } =1

2.对于商的极限的不确定性,我们要来分析怎么求解它们的极限.

\lim_{x \rightarrow x_{0} }{f(x)} =0,\lim_{x \rightarrow x_{0} }{g(x)} =0,
\lim_{x \rightarrow x_{0} }{\frac{f(x) }{g(x)} } =?

因为x\rightarrow x_0,但是x\ne x_0,所以分子分母同时除以x-x_0
\lim_{x \rightarrow x_{0} }{\frac{f(x) }{g(x)} } =\lim_{x \rightarrow x_{0} }{\frac{\frac{f(x)}{x-x_{0} }  }{\frac{g(x)}{x-x_{0} } } }

因为\lim_{x \rightarrow x_{0} }{f(x)} =0,\lim_{x \rightarrow x_{0} }{g(x)} =0,我们设f(x),g(x)x=x_0时连续,则
\lim_{x \rightarrow x_{0} }{f(x)} =f(x_0)=0,\lim_{x \rightarrow x_{0} }{g(x)} =g(x_0)=0,从而
\lim_{x \rightarrow x_{0} }{\frac{f(x) }{g(x)} } =\lim_{x \rightarrow x_{0} }{\frac{\frac{f(x)}{x-x_{0} }  }{\frac{g(x)}{x-x_{0} } } } =\lim_{x \rightarrow x_{0} }{\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_{0} }  }{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_{0} } } } =\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)} }

前提条件是\lim_{x \rightarrow x_0}{g'(x)} \ne 0,至于上面提到的连续性,由于导数存在,必然是连续的。
其它条件就是极限的条件。

 
这个推导对高中生使用和记忆洛必达法则有帮助,更多深入的解释留到大学。

作者:alphacalculus
链接:https://www.zhihu.com/question/46452639/answer/125482538
来源:知乎
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